Phân biệt hiện tượng tuyến tính và phi tuyến

Với quan hệ tuyến tính, nếu đầu vào được nhân với một hệ số thì đầu ra cũng thay đổi tương ứng, đồng thời tác động của nhiều đầu vào có thể cộng lại theo nguyên lý chồng chất. Với quan hệ phi tuyến, các quy tắc này không còn đúng nói chung.

Hiện tượng tuyến tính là gì?

Một quan hệ đầu vào–đầu ra được xem là tuyến tính khi ánh xạ từ đầu vào sang đầu ra thỏa tính đồng nhất và tính cộng, thường được gộp thành nguyên lý chồng chất.

Nếu hệ biến đổi đầu vào x thành đầu ra y, có thể biểu diễn điều kiện tuyến tính dưới dạng:

F(ax1​ bx2​)=aF(x1​) bF(x2​)

với các hệ số a,b.

Điều này có hai hệ quả quan trọng:

·         Nếu đầu vào tăng k lần thì phần đáp ứng tương ứng của đầu ra cũng tăng k lần

·         Nếu hai đầu vào tạo ra hai đầu ra riêng biệt, tổng hai đầu vào tạo ra tổng tương ứng của hai đầu ra

Đây chính là nguyên lý chồng chất; MIT cũng mô tả tính tuyến tính của hệ thông qua hai đặc tính này.

Ví dụ đơn giản:

y=3x

Khi x=2, y=6; khi x=4, y=12. Đầu vào tăng gấp đôi thì đầu ra cũng tăng gấp đôi.

Hiện tượng phi tuyến khác gì?

Quan hệ phi tuyến là quan hệ trong đó đầu ra không tuân theo tính chồng chất hoặc tỷ lệ của hệ tuyến tính.

Ví dụ:

y=x2

Nếu đầu vào tăng từ x=2 lên x=4, đầu ra tăng từ 4 lên 16, tức tăng 4 lần chứ không phải 2 lần.

Một ví dụ khác là:

y=2u2(t)

MIT dùng dạng quan hệ này để minh họa một hệ phi tuyến nhưng có thể bất biến theo thời gian. Điều đó cũng cho thấy “phi tuyến” và “biến thiên theo thời gian” là hai thuộc tính khác nhau, không nên đánh đồng chúng.

Khác nhau về quan hệ đầu vào và đầu ra

Có thể nhìn sự khác biệt trực tiếp qua bảng sau:

Điểm cần chú ý là đồ thị là đường thẳng chưa đủ để kết luận một ánh xạ là tuyến tính theo nghĩa toán học. Chẳng hạn y=2x 3 có đồ thị là đường thẳng nhưng không phải ánh xạ tuyến tính vì F(0)=0; nó là một quan hệ affine.

Vì sao phi tuyến làm đầu ra thay đổi phức tạp hơn?

Ở hệ tuyến tính, các thành phần đầu vào có thể được xử lý riêng rồi cộng các đáp ứng lại. Đây là lý do nguyên lý chồng chất có giá trị lớn trong toán học và kỹ thuật.

Ở hệ phi tuyến, các thành phần đầu vào có thể tương tác với nhau. Ví dụ, với:

y=x2

nếu x=x1​ x2​, ta có:

y=(x1​ x2​)2=x12​ 2x1​x2​ x22​

Xuất hiện thêm thành phần 2x1​x2​. Thành phần này thể hiện sự tương tác giữa các đầu vào và làm cho đầu ra không còn bằng tổng đơn giản của hai đáp ứng riêng lẻ.

Khi nào một hiện tượng có thể được xem là tuyến tính?

Một hiện tượng có thể được mô hình hóa tuyến tính khi trong phạm vi đang xét, quan hệ đầu vào–đầu ra gần như thỏa các quy tắc tuyến tính.

Điều này quan trọng vì một hiện tượng thực tế không nhất thiết hoàn toàn tuyến tính hoặc hoàn toàn phi tuyến trong mọi điều kiện. Một hệ có thể được tuyến tính hóa quanh một điểm làm việc hoặc trong một khoảng biến thiên nhỏ, trong khi mô hình đầy đủ vẫn là phi tuyến.

Do đó, khi đánh giá một hiện tượng, cần hỏi:

1.    Đầu vào thay đổi thì đầu ra thay đổi theo tỷ lệ nào?

2.    Có giữ được tính đồng nhất không?

3.    Có giữ được nguyên lý chồng chất không?

4.    Quan hệ đó có chỉ đúng trong một phạm vi nhất định không?

Cách phân biệt nhanh hiện tượng tuyến tính và phi tuyến

Có thể kiểm tra bằng hai phép thử cơ bản.

Thử 1 – Tỷ lệ

Nếu:

F(kx)=kF(x)

thì hệ có tính đồng nhất.

Thử 2 – Chồng chất

Nếu:

F(x1​ x2​)=F(x1​) F(x2​)

thì hệ có tính cộng.

Khi cả hai điều kiện được thỏa mãn, quan hệ có tính tuyến tính theo nghĩa toán học. Ngược lại, nếu một trong hai điều kiện thất bại thì không thể coi quan hệ đó là tuyến tính. MIT OpenCourseWare cũng trình bày tính tuyến tính thông qua chính điều kiện chồng chất này.

Tóm lại, hiện tượng tuyến tính có quan hệ đầu vào–đầu ra tuân theo tính tỷ lệ và nguyên lý chồng chất, nên tác động của các đầu vào có thể được cộng lại một cách nhất quán. Hiện tượng phi tuyến không giữ được các quy tắc đó nói chung; đầu ra có thể thay đổi theo mức đầu vào và xuất hiện tương tác giữa các thành phần. Vì vậy, điểm phân biệt quan trọng nhất không phải là đồ thị có “thẳng” hay “cong”, mà là quy luật biến đổi từ đầu vào sang đầu ra có thỏa tính tuyến tính hay không.