Khoa học hình thức và đối tượng nghiên cứu trừu tượng

Điểm cốt lõi không nằm ở việc đối tượng có tồn tại trực tiếp trong tự nhiên hay không, mà ở việc các kết luận có thể được suy ra nhất quán từ những giả định, định nghĩa và quy tắc đã xác lập. Vì vậy, khoa học hình thức tạo ra công cụ để mô tả cấu trúc, kiểm tra suy luận và xây dựng những hệ thống có thể được các ngành thực nghiệm sử dụng.

Khoa học hình thức là gì?

Khoa học hình thức nghiên cứu các đối tượng và quan hệ được xác định ở cấp độ trừu tượng. Một số, một mệnh đề logic, một tập hợp hay một thuật toán không được nghiên cứu giống như một vật thể vật lý cần đo trực tiếp. Chúng được xác định thông qua định nghĩa và được phân tích bằng các quan hệ có thể suy diễn trong một hệ thống.

Chẳng hạn, trong logic mệnh đề, các ký hiệu có thể đại diện cho những mệnh đề và được kết nối bằng các phép toán như phủ định, hội hoặc tuyển. Nhà nghiên cứu không cần quan sát một hiện tượng tự nhiên để xác định bảng chân trị của phép hội. Kết quả được xác định bởi chính quy tắc của hệ thống logic.

Điều này không có nghĩa khoa học hình thức tách rời thực tế. Các cấu trúc hình thức có thể được dùng để mô hình hóa những hiện tượng thực nghiệm, nhưng tính đúng đắn của một phép chứng minh hình thức không phụ thuộc vào việc hiện tượng được mô hình hóa có thực sự xảy ra hay không.

Đối tượng của khoa học hình thức là các cấu trúc và quan hệ trừu tượng

Một hệ thống hình thức thường bắt đầu bằng tập hợp đối tượng cơ bản, ký hiệu hoặc khái niệm được định nghĩa rõ. Sau đó, các quan hệ giữa chúng được thiết lập bằng tiên đề, quy tắc biến đổi hoặc quy tắc suy luận.

Trong toán học, đối tượng có thể là số, tập hợp, hàm, không gian hoặc cấu trúc đại số. Trong logic, trọng tâm có thể là mệnh đề, công thức, quan hệ suy diễn và điều kiện để một kết luận theo sau các tiền đề. Trong khoa học máy tính lý thuyết, đối tượng có thể là thuật toán, ngôn ngữ hình thức, máy trừu tượng hoặc lớp bài toán tính toán.

Tính trừu tượng cho phép cùng một cấu trúc được áp dụng cho nhiều trường hợp cụ thể. Một phương trình không chỉ mô tả một vật thể duy nhất; nó có thể biểu diễn cả một lớp quan hệ nếu các đối tượng thực tế thỏa mãn những điều kiện tương ứng.

Cấu trúc logic được nghiên cứu bằng tiên đề và quy tắc suy luận

Một đặc điểm quan trọng của khoa học hình thức là phân biệt giữa những gì được giả định ban đầu và những gì có thể suy ra từ các giả định đó.

Tiên đề hoặc giả thiết cung cấp điểm xuất phát. Quy tắc suy luận xác định những bước chuyển nào được phép thực hiện. Từ đó, một định lý hoặc kết luận được thiết lập bằng chuỗi suy luận mà từng bước đều phải phù hợp với quy tắc của hệ thống.

Cơ chế này làm cho việc kiểm tra trở nên minh bạch. Nếu một kết luận bị nghi ngờ, có thể xem lại các tiền đề, định nghĩa và từng bước suy luận để xác định lỗi nằm ở đâu. Tính hợp lệ vì thế phụ thuộc vào cấu trúc của lập luận chứ không chỉ vào việc kết luận nghe có vẻ hợp lý.

Cú pháp xác định biểu thức nào được phép hình thành

Cú pháp của một hệ thống hình thức quy định cách các ký hiệu có thể kết hợp với nhau. Không phải mọi chuỗi ký hiệu đều là một biểu thức hợp lệ.

Ví dụ, một ngôn ngữ logic có thể quy định cách tạo công thức từ biến mệnh đề, dấu ngoặc và các phép nối logic. Các quy tắc này cho phép xác định một biểu thức có đúng dạng trước khi xem xét nội dung mà nó biểu thị.

Ngữ nghĩa xác định ký hiệu và biểu thức mang ý nghĩa gì

Ngữ nghĩa liên hệ biểu thức hình thức với cách diễn giải hoặc giá trị của nó. Trong logic, ngữ nghĩa có thể xác định điều kiện để một công thức là đúng trong một mô hình.

Cú pháp và ngữ nghĩa vì thế giải quyết hai câu hỏi khác nhau: biểu thức có được hình thành đúng quy tắc hay không, và biểu thức đó đúng trong những cách diễn giải nào. Phân biệt hai lớp này giúp tránh nhầm lẫn giữa một phép biến đổi hợp lệ về hình thức với một phát biểu đúng trong mọi trường hợp.

Hệ thống ký hiệu giúp biểu diễn và thao tác với quan hệ một cách chính xác

Ký hiệu trong khoa học hình thức không chỉ dùng để viết ngắn hơn. Chúng cho phép biểu diễn các đối tượng và quan hệ theo cách có quy tắc, nhờ đó những phép biến đổi có thể được thực hiện mà không phải liên tục quay lại ngôn ngữ tự nhiên.

Chẳng hạn, biểu thức toán học có thể làm rõ ngay quan hệ giữa các đại lượng, còn ký hiệu logic cho phép thể hiện cấu trúc của một lập luận. Khi ý nghĩa và quy tắc sử dụng ký hiệu đã được xác định, người nghiên cứu có thể kiểm tra phép suy diễn ở cấp độ cấu trúc.

Tuy nhiên, ký hiệu chỉ có giá trị khi hệ thống quy định rõ cách sử dụng và diễn giải chúng. Một chuỗi ký hiệu tự thân không tạo thành tri thức hình thức nếu không có quy tắc hình thành, quy tắc suy luận hoặc ngữ nghĩa tương ứng.

Chứng minh giữ vai trò khác với kiểm chứng thực nghiệm

Trong khoa học hình thức, một kết luận thường được xác lập bằng chứng minh: kết luận phải theo từ các tiền đề theo những quy tắc suy luận được chấp nhận. Nếu chứng minh hợp lệ và các giả định được giữ nguyên, kết luận có tính tất yếu trong phạm vi của hệ thống đó.

Khoa học thực nghiệm vận hành theo một yêu cầu khác. Một giả thuyết về thế giới tự nhiên phải đối chiếu với quan sát, phép đo hoặc thí nghiệm. Dữ liệu mới có thể buộc nhà nghiên cứu sửa hoặc bác bỏ mô hình.

Sự khác biệt này tạo nên ranh giới quan trọng. Một mô hình toán học có thể hoàn toàn nhất quán nhưng vẫn mô tả thực tế kém nếu những giả định đầu vào không phù hợp với hiện tượng. Chứng minh cho biết điều gì tất yếu xảy ra trong mô hình; dữ liệu thực nghiệm mới cho biết mô hình có phù hợp với thế giới được nghiên cứu hay không.

Khoa học hình thức hỗ trợ khoa học thực nghiệm bằng mô hình và công cụ suy luận

Các ngành thực nghiệm thường sử dụng kết quả của khoa học hình thức để định lượng, mô hình hóa và phân tích dữ liệu. Toán học cung cấp ngôn ngữ biểu diễn quan hệ; thống kê cung cấp khuôn khổ suy luận từ dữ liệu; logic hỗ trợ phân tích tính hợp lệ của lập luận; các phương pháp tính toán giúp xây dựng và xử lý mô hình phức tạp.

Quan hệ này không biến khoa học hình thức thành khoa học thực nghiệm. Khi một cấu trúc hình thức được áp dụng vào vật lý, sinh học hay kinh tế học, cần thêm một bước nối giữa mô hình trừu tượng và đối tượng thực tế. Các giả định phải được đánh giá và kết quả phải được đối chiếu với bằng chứng của lĩnh vực ứng dụng.

Do đó, giá trị của khoa học hình thức nằm ở khả năng làm rõ cấu trúc của vấn đề và những hệ quả logic của các giả định. Nó không tự quyết định liệu một giả định về thế giới thực có đúng hay không.

Khoa học hình thức nghiên cứu các cấu trúc trừu tượng bằng hệ thống ký hiệu, định nghĩa, tiên đề và quy tắc suy luận. Tính đúng đắn của kết quả được xác lập chủ yếu qua quan hệ logic và chứng minh trong phạm vi hệ thống đã xác định. Chính đặc điểm này phân biệt khoa học hình thức với khoa học thực nghiệm, đồng thời giải thích vì sao toán học, logic và các phương pháp hình thức có thể trở thành nền tảng cho việc mô hình hóa và suy luận trong nhiều lĩnh vực khác.